quarta-feira, 18 de fevereiro de 2015
Projeção de Peters
Durante muito tempo a Projeção de Mercator foi a mais utilizada para representar a
superfície terrestre. Porém, em 1973, Arno Peters, cartógrafo e historiador alemão,
criou uma projeção que ele mesmo chamou de “mapa para um mundo solidário”.
A projeção de Peters é uma projeção cilíndrica tangente aos pólos, parecida com a de Mercator, mas com a diferença fundamental de representar, o mais próximo possível da realidade, a proporção de tamanho entre os continentes sem se preocupar com a equivalência das distâncias.
Na projeção de Peters (ou “Projeção Equivalente de Peters”)
os paralelos estão separados a intervalos crescentes desde os pólos até o
Equador e, por isso, os continentes situados entre os paralelos 60º norte e sul
apresentam uma deformação (alongamento) no sentido norte-sul, sendo que os
continentes que se situam em uma latitude elevada (Groenlândia, Canadá...)
apresentam um achatamento no sentido norte-sul e um alongamento proposital
(para haver correspondência em tamanho) no sentido leste-oeste.
Outra diferença desta projeção para a de Mercator é que os
paralelos estão separados por uma distância menor, fazendo com que os
continentes em latitudes menores que 60º (mais próximos do equador) fiquem mais
“finos” (ou, com que haja um achatamento no sentido leste-oeste).
Devido a estas mudanças nas posições dos paralelos, a
Projeção de Peters apresenta a Europa e a União Soviética bem menor, e a África
é que ocupa o centro da projeção.
Por isso, a projeção de Peters é tida como uma projeção
ideologicamente “terceiro-mundista”. Ela apresenta uma proporção real entre os
continentes onde os países de primeiro mundo não são maiores que os países do
terceiro-mundo, no sentido literal e metafórico.
Tanto é que a Projeção de Peters foi utilizada pelo Fundo
das Nações Unidas para a Infância (Unicef) como uma tentativa de sensibilizar
os países do primeiro mundo acerca da pobreza dos outros países.
http://www.infoescola.com/cartografia/projecao-de-peters/
Projeção de Mercator
Gerardus Mercator Rupelmundanus, ou Gerhard Kremer como era seu
nome original, foi um cartógrafo belga nascido em 1512 e que em 1569
revolucionou a cartografia ao conseguir a façanha de representar o globo
terrestre em um retângulo plano, a “Projeção de Mercator”, na época, chamado
por ele de “Nova et aucta orbis terrae descriptio ad usum navigantium emendate
accommodata”.
Projeção de Mercator. Ilustração: Strebe [CC-BY-SA-3.0
(http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons
Felizmente, Mercator era melhor com mapas do que com nomes e
sua projeção foi, por séculos, utilizada na navegação (como o nome original
sugeria), fazendo com que todas as cartas náuticas usadas até então se
tornassem obsoletas e, sendo até hoje usada em muitos atlas e, praticamente, em
todos os mapas de fusos horários.
Mercator conseguira, utilizando 24 linhas verticais
(meridianos) e 12 horizontais (paralelos) que iam se afastando umas das outras
conforme se aproximavam dos pólos, representar todos os continentes da terra em
um mapa que podia ser utilizado para traçar rotas através de “curvas-traçado”
(que ele chamava de “loxódromo”) de maneira surpreendentemente eficiente para a
época.
Mas, como toda projeção cartográfica, a de Mercator possui
uma distorção, só que nos pólos. Devido à forma como são representados, os
continentes afastados da linha do Equador (Europa, Canadá, Groenlândia, etc.)
ficam maiores do que são na realidade. Um exemplo comum utilizado, é a
Groenlândia que, na Projeção de Mercator aparece maior que a América do Sul,
quando, na verdade, a América do Sul é bem maior.
Essa distorção cartográfica faz com que a precisão na
medição das distâncias seja tanto prejudicada quanto maior for a latitude da
rota medida. O que, porém não prejudicou o trabalho de Mercator que passou a
ser considerado o pai da cartografia.
A partir da projeção de Mercator foram feitas outras formas
de projeção: a “Mercator Transversa”, projeção cilíndrica com o plano tangente
ao Equador e usada em mapeamentos topográficos e base para projeção UTM; a
“Oblíqua de Mercator”, com o plano tangente a um círculo máximo qualquer que
não é o Equador nem o meridiano de Greenwich e é usado para projetar imagens de
satélite no sistema Landsat, serviu de base para a projeção SOM (Space Oblique
Mercator) e para mapear regiões como o Alaska, que se estendem em direção
oblíqua; e, a “Projeção Equivalente de Lambert”, que é parecida com a de
Mercator só que com o plano tangente ao Equador, de forma que a escala na linha
do Equador é a real e conforme vai se aproximando dos pólos vai diminuindo.
Causando uma distorção aparente, inversamente proporcional a da projeção de
Mercator.
GIS, Cartografia e Matemática
Por MundoGEO
Por Eduardo de Rezende Francisco
Deparei-me recentemente com o artigo “A Matemática e a
Cartografia”, de Geraldo Ávila (Revista do Professor de Matemática, 65, de
2008), que traz um pouco da história da aproximação entre essas duas ciências.
Reproduzo aqui parte desse artigo, estendendo-o para episódios históricos que
abordam o advento das geotecnologias.
A Cartografia, arte de fazer mapas, tem uma história antiga,
que remonta a milênios antes de Cristo. Nos tempos modernos, a partir de meados
do século XV, a elaboração de mapas tornou-se uma atividade de interesse
crescente, principalmente devido às grandes navegações, que exigiam mapas cada
vez mais confiáveis. Desde a origem da Cartografia, a Matemática sempre
constituiu a base para a formulação e construção do conteúdo desse campo do
conhecimento, da representação gráfica da superfície terrestre e dos objetos
geográficos. Escala, proporções, coordenadas geográficas, projeções
cartográficas, fuso horário, e muitos outros, são conceitos matemáticos
fundamentais para a leitura de mapas.
Mapas do mundo conhecido foram feitos desde tempos bem
remotos. De todos esses mapas, o mapa-mundi de Cláudio Ptolomeu (83 – 161 d.C.)
teve vida bem longa, servindo a seus contemporâneos ainda no tempo do Império
Romano, passando pelos árabes e voltando à Europa ainda na Idade Média.
Esse mapa encontra-se em sua importante obra, Geographia
(Geographiké Hyphegesis), que influenciou cartógrafos, navegadores e astrônomos
do século XV e boa parte do século XVI.
Mapa de Ptolomeu
As navegações foram um grande estímulo para que se
intensificassem os esforços na confecção de mapas cada vez mais informativos e
confiáveis, dentre os quais o mapa (e a projeção) de Mercator, que ficou sendo
o mais importante e famoso até os dias de hoje. Assim, com o tempo, o mapa de
Ptolomeu foi perdendo importância prática.
Gerhard Kremmer (1512-1594) foi um geógrafo e cartógrafo
natural de Flandres, que atualmente faz parte da Bélgica. Ele ficou conhecido
pelo seu nome latinizado Gerardus Mercator (Kremmer significa mercador). Seu
famoso mapa data de 1569, e revolucionou a Cartografia.
Sua principal característica era a de ter, em um mapa plano,
as linhas de rumo retas fazendo ângulos constantes com os meridianos. Até esse
advento, não havia mapas com essas características.
Aos poucos os navegadores foram percebendo a vantagem em
precisão e facilidade de navegação que ele oferecia.
Durante toda essa época, e até meados do século XVIII, os
cartógrafos procuravam descobrir uma maneira de fazer mapas de grandes regiões,
ou mesmo de todo o globo terrestre, de forma a reproduzir as diferentes
localidades da Terra preservando, com exatidão e na mesma escala, as várias
distâncias entre elas. Isso perdurou até que o grande matemático Leonard Euler
(1707-1783) demonstrou a impossibilidade desse intento.
Mapa de Mercator
Um ramo da Matemática, do qual Euler pode ser dito como um
dos fundadores, é conhecido por Teoria dos Grafos, uma parte hoje adulta e
independente da Topologia.
Esta é, grosseiramente, o estudo das formas das figuras
geométricas e das propriedades qualitativas das transformações contínuas entre
tais figuras. O século XVIII a conheceu como Geometria Situs e mais tarde a
denominação Topologia Combinatória se disseminou até advir a enorme expansão do
assunto no século XX.
A resolução do famoso problema das sete pontes de Königsberg
por Euler, em 1736, é considerada como sendo um dos primeiros resultados
topológicos (falaremos mais especificamente sobre esse assunto em um próximo
artigo). Mais ainda, dentre as mais conhecidas descobertas de Euler está aquela
contida na fórmula que relaciona o número de vértices, áreas e faces de um
poliedro. Mais tarde, tal resultado serviu de base para a definição da
“característica de Euler”, que foi utilizada por H. Poincaré (1854-1912) para a
classificação das superfícies, um dos principais invariantes da moderna
Topologia.
As relações topológicas entre elementos geográficos –
continência, pertinência, conectividade e proximidade – são utilizadas
amplamente na representação e análise dos objetos geográficos, vetoriais e
raster, desde sua criação, na década de 1960, e sua vida profissional, a partir
da década de 1980. Dentre elas estão a análise de rede e a roteirização, que se
utilizam da conectividade entre elementos vetoriais, exemplos da apropriação da
Teoria dos Grafos no geoprocessamento.
A determinação do melhor, ou menor, roteiro, funcionalidade
extremamente útil para logística, despacho de veículos, planejamento de
trânsito e apoio a aplicações urbanas com GPSs embarcados, teve uma
contribuição importante do matemático e cientista da computação holandês Edsger
Dijkstra (1930-2002), conhecido também por suas contribuições nas áreas de
desenvolvimento de algoritmos, linguagens de programação, sistemas operacionais
e processamento distribuído. O algoritmo para o problema do caminho mínimo em
redes, desenvolvido em 1959 e popularmente conhecido por algoritmo de Dijkstra,
está implementado em praticamente todas as ferramentas de geoprocessamento
comerciais e livres.
Sem dúvida, esse passeio histórico merece ser enriquecido
por muitos outros episódios. Poderíamos enveredar por toda a teoria que
sustenta a localização GNSS, ou pelos desdobramentos dos modelos de
representação da Terra, elipsóides, geóides e projeções cartográficas, ou mesmo
buscar na Matemática Aplicada e na Computação outros fundamentos que são
utilizados em sofisticadas minerações de dados, ou tratar da teoria
computacional que sustenta o recente 3D-GIS e sua interface com a realidade
virtual. Convido os leitores a ajudarem nesse processo.
Eduardo de Rezende Francisco é mestre e doutorando em
administração de empresas pela FGV-EAESP, bacharel em ciência da computação
pelo IME-USP, atua em GIS, business intelligence, pesquisas de mercado e
estratégias de marketing na AES Eletropaulo, é consultor em integração
Geomarketing & Data Mining e presidente da Gita Brasil (www.gita.org.br)
Bibliografia
Ávila, Geraldo. A Matemática e a Cartografia, Revista do
Professor de Matemática, número 65, pg. 4-11, São Paulo, 2008.
De La Penha, G. M. Euler e a Topologia, Revista do Professor
de Matemática, número 3, pg. 12-14, São Paulo, 1986.
Wikipedia. Ptolomeu, Euler, Dijkstra, Topologia. Disponível
em www.wikipedia.org .
Davis, Clodoveu. Caminho Mínimo em Redes. Publicações Prodabel,
Belo Horizonte, 2001.
Rocha, M. L. P. C. & Espírito Santo, A. O. Matemática e
Cartografia: Como a Cartografia pode Contribuir no Processo Ensino-Aprendizagem
da Matemática?, CEFET, Belém, Pará, 2003.
Bônus: a resolução do teorema de Euler
Em tempo, vamos explicar e demonstrar o resultado de Leonard
Euler a respeito de projeções cartográficas.
Esse resultado data de 1775, de sorte que até esse ano os
cartógrafos continuavam sua faina em busca de um mapa plano do globo terrestre
ou de uma região do globo com a propriedade de que todas as distâncias entre
diferentes lugares se mantivessem inalteradas. Mais especificamente, o que se
busca provar: é possível construir um mapa plano do globo terrestre, ou de uma
parte do globo, com uma escala fixa, ou seja, sem distorções? Dito de outra
maneira, é possível construir um mapa plano para o qual a distância entre
quaisquer dois de seus pontos é sempre igual a um múltiplo fixo da distância ao
longo dos pontos correspondentes no globo, medida ao longo do círculo máximo
por esses pontos?
A demonstração de que isso é impossível é tão simples que é
de admirar que ninguém a tivesse descoberto bem antes de Euler.
Para provar essa impossibilidade, basta considerar uma
pequena região ao redor de um ponto P do globo, este representado na figura
abaixo por uma esfera de raio R. Para simplificar, vamos supor que R já tenha
sido escolhido de forma que o mapa esférico e o mapa plano estejam na mesma
escala. Assim, raciocinando por absurdo, um arco de comprimento r ao longo de
um grande círculo da esfera seria transformado num segmento retilíneo de
comprimento igual no mapa plano. Repare que os pontos Q na esfera, com PQ=r,
formam uma circunferência de raio s<r, cuja imagem no mapa plano é uma
circunferência de raio r, portanto, de comprimento 2πr. Ao mesmo tempo, o
comprimento dessa circunferência deveria ser 2πs, pois ela é imagem de uma
circunferência de raio s. Mas, como s<r, isso contradiz a afirmação anterior
e conclui a demonstração.
Qualquer pessoa que tenha desfrutado o prazer de comer uma
boa tangerina sabe que é impossível transformar sua casca, ou parte dela, num
objeto plano. O mesmo é verdade de uma bola de borracha rasgada. E há de
reconhecer, nessas experiências, a presença do resultado de Euler.
fonte: http://mundogeo.com/blog/2008/05/31/gis-cartografia-e-matematica/
O que é Cartografia
Por Caroline Faria
De acordo com algumas definições a cartografia é a ciência que trata dos estudos e operações
tanto científicas e técnicas, quanto artísticas, relacionadas à elaboração e
utilização das cartas (ou mapas) de acordo com determinados sistemas de
projeção e uma determinada escala.
O primeiro mapa de que se tem notícia foi feito em uma tábua
redonda de argila por volta de 2.300 a.C. na região da Mesopotâmia (atual
Iraque). Era apenas uma representação de um rio, provavelmente o rio Eufrates,
circundando montanhas. Outros registros, datando de 1.000 a.C., foram
encontrados no Egito em tumbas, onde os desenhos representavam paisagens
locais, trilhas e rios.
Essa representação feita pelos babilônios é considerada como
o primeiro mapa-múndi da história por representar o mundo na concepção de seus
autores, mesmo que na verdade, a terra seja bem diferente disso.
Mas foi na Grécia que surgiram as primeiras tentativas de se
estabelecer métodos para a confecção destes mapas. Por volta de 500 a.C.
Hecateu de Mileto produziu um livro onde representava a terra como um disco com
a Grécia no centro que foi considerada o primeiro livro de geografia da
história. E, mais tarde, Claudius Ptolomeu, que viveu entre 90 e 168 d.C.,
publicou um tratado sobre geografia composto por oito volumes e que entraria
para história por conter uma nova representação do mundo com regras para
representá-lo na forma esférica, bem mais próximo dos utilizados atualmente.
Mais foi só a partir do século XII que, através do relato de
viajantes e navegadores, iniciou-se a produção de mapas que incluíam regiões
maiores do globo. Embora com muitos erros e exageros por parte dos relatores.
O período das “Grandes Navegações” (século XV) foi uma época
de grande produção de mapas e cartas. Mas era comum encontrar representados
nessas cartas, além das regiões a navegar, figuras mitológicas e monstros
marinhos.
Foi, também, no século XV que Gerard Mercator desenvolveu um
método para representar as características de um objeto curvo (a terra) em uma
superfície plana. Depois, a partir do século XVIII e da invenção de telescópios
a cartografia começou a se desenvolver, mas, só atingiria seu auge nas décadas
de 1970 e 1980 com o surgimento de bancos de dados digitais sobre o tamanho, as
formas da terra e o seu estudo, a geodésia.
Mas, não podemos deixar de lado, descobertas e ideias de
outros pensadores, cientistas e inventores que ajudaram no desenvolvimento dos
conceitos ligados a cartografia, como, por exemplo, Copérnico que revolucionou
a concepção do universo ao confrontar o geocentrismo aristotélico com sua
teoria heliocêntrica. Erastótenes que foi o primeiro a calcular o raio da terra
em 240 a.C. Alexander Von Humboldt que foi o primeiro a usar isotermas (curvas
que unem os pontos, em um plano cartográfico, que representam as mesmas
temperaturas na unidade de tempo considerada) para representar regiões de mesma
temperatura, a empregar o conceito de “meio ambiente geográfico” ao afirmar que
as características da fauna e da flora dependem das condições climáticas, relevo
e latitude do local. Também foi ele quem demonstrou pela primeira vez a
variação da intensidade magnética dos polos ao equador situando o equador
magnético no Peru, além de muitas outras descobertas relacionadas ao estudo da
terra, do vulcanismo e das correntes marítimas. E, também, Fernão de Magalhães,
navegador português a serviço da Espanha e que foi o primeiro a circunavegar o
globo, além de muitos outros estudiosos que contribuíram para a consolidação da
cartografia.
Assinar:
Postagens (Atom)